Прогулка по мосту, которого нет

Когда я сталкиваюсь с незнакомым словом в книжке, я лезу в словарь. Это застарелая привычка филолога, благодаря которой мои представления о мире более-менее регулярно уточняются и расширяются. Когда я сталкиваюсь с вопросом, на который не могу найти ответ, я сначала тоже по любому поводу лезла в энциклопедии. Это, понятное, дело, тоже очень расширяло кругозор. Но потом я заметила, что не всякая найденная информация потом оказывается полезной в жизни или хотя бы просто помнится, и я перестала роптать о том, что отказали боги мне в сладкой участи знать наизусть все песни Егора Крида, детали биографии Шэрон Стоун или точные цитаты из «Человека-паука 100500». Еще позже я отказалась и от бесплодных попыток разобраться в узкоспециализированной информации, касающейся строительства космических кораблей, сложных экономических операций, четырехэтажных математических формул. Не потому что я отношусь к этим наукам с презрением, а как раз наоборот: уж если разбираться, то всерьез, а не нахватывать по верхам, создавая видимость эрудиции.

Короче, я против неосмысленной информации. Я за то, чтобы знание действительно обогащало, а не только развивало память. Как говорил Шерлок Холмс (не в сериале, хотя в сериале, кажется, что-то об этом тоже есть), «человек толковый тщательно отбирает то, что он поместит в свой мозговой чердак».

Многие бывшие 29 сентября на собрании СНО уже поняли, о чем пойдет речь в этом посте. Да-да, о формуле Кардано. Джероламо Кардано – действительно интересная личность. Он жил в 16 веке и имеет самое непосредственное отношение к карданному валу, изобрел кодовый замок, написал «Книгу об игре в кости», где вплотную подошел к теории вероятностей, и опубликовал гороскоп... Иисуса Христа. То есть это имя, вообще говоря, интересно и полезно знать не только математикам. О'кей, запомним. Но формула-то нам зачем?

Если говорить о самой формуле и пытаться ее запомнить, то я все равно считаю, что, по большому счету, незачем. Но вот ее название, где применяется, и историю, тоже, пожалуй, можно запомнить. То, что было написано тогда на доске моей сугубо гуманитарной 37 аудитории, было не чем иным как уравнением третьей степени. Догадаться об этом было несложно, и мысль эта, понятное дело, в любом работающем мозгу, даже самом гуманитарном, возникает. Ну и как его решать? Для квадратных уравнений есть дискриминант. Для кубических – формула Кардано. То есть в кубическом уравнении, проще говоря, есть что-то похожее на дискриминант, но называть это явление таким термином не принято. Всё?

Оказывается, нет. У этой формулы захватывающе интересная история! Ведь решать уравнения разных степеней пытались математики еще с древности, в том числе, и Омар Хайям (тот самый, великий персидский поэт). То есть, вообще говоря, решения уже были. Да и сама формула не принадлежит Кардано, а только была им опубликована. На самом деле ее создатель – Никкола Тарталья (причем Тарталья – это прозвище: он заикался после ранения, полученного в детстве), которого, в свою очередь, опередил Сципион дель Ферро. Тарталья познакомился с учеником дель Ферро на математическом турнире (средневековая олимпиада по математике, ага), где и выяснилось, что ему известна формула, которая была еще ранее передана другим по большому секрету.

А помните вопрос о практическом применении этой формулы? Так вот, оказывается, оно есть, но лежит в другой плоскости! Дело в том, что график функции типа y=x3 представляет собой кубическую параболу, а решение уравнения сводится к нахождению точек пересечения этой параболы с прямой, заданной линейной функцией. Включите пространственное воображение, и вам станет ясно, что такое уравнение всегда-всегда должно иметь хотя бы одно решение, потому что любая прямая хоть раз да пересечет график кубической параболы. И вот пытается некий Рафаэль Бомбелли применить формулу Кардано в безобидном уравнении и напарывается на необходимость или извлекать квадратный корень из отрицательного числа (помните, что там было на доске? корни под корнями - это, полагаю, многих тогда впечатлило), или считать уравнение не имеющим решений (но точка-то пересечения хоть одна да есть! мы же это ясно видим!), или отказываться от формулы... или... есть ли еще какие-то варианты? Оказывается, есть! Можно сделать вид, что перед нами не корень из отрицательного числа, а просто какое-то число. А если вас травмирует такое число, считайте вообще, что это буква. Например, i. Ведь алгебра жонглирует буковками, не вдаваясь в то, какие числа могут за ними стоять, так? Лишь бы потом это страшное число куда-нибудь пропало. И правда: сначала оно появилось со знаком плюс, а потом – минус. И всё, враг сам себя уничтожил, а мы получили нормальное человеческое число, вполне себе приличное, по которому никогда не скажешь о его сомнительном происхождении. Причем правильность ответа, который таким образом получен, легко доказывалась обычной подстановкой.

И так Бомбелли вводит в математику мнимые числа, которые сегодня принято называть комплексными. Подумайте только: чтобы решить проблему, мы должны вести себя так, будто нет ничего необычного в нарушении привычного порядка вещей. Эльф жарит на кухне яичницу? Очень хорошо, лишь бы на вкус была нормальной и приготовлена вовремя. И то, что я не верю в эльфов, не заставит меня отказаться от яичницы.

А мнимые числа – это прорыв в другую реальность. Это не математика, а литература. Например, «Душевные смуты воспитанника Терлеса» Роберта Музиля. Там сразу два чудесных образа мнимого числа. Один такой сугубо прагматический, почти приземленный, если только приземленным может быть такой мистический образ: «Это все равно как сказать: здесь вообще всегда кто-то сидел, поставим и сегодня стул для него. И даже если он тем временем умер, сделаем вид, будто он придет». А другой и вовсе пронизан поэзией насквозь: «...числа такие же. Но те и другие связаны между собой чем-то, чего вообще нет. Не похоже ли это на мост, от которого остались только опоры в начале и в конце и который все же переходишь так уверенно, словно он весь налицо? Для меня в таком вычислении есть что-то головокружительное. Словно часть пути заходит бог весть куда. Но самое жуткое, по-моему, - сила, которая скрыта в таком вычислении и держит тебя так крепко, что ты все-таки попадаешь туда, куда нужно». И почти сразу же за этим в тексте возникает слово «душа». Случайно ли?

Мораль: формула Кардано – это увлекательнейшая история, личность Кардано достойна того, чтобы о ней знали, математика – это поэзия. А еще – обо всем можно рассказать интересно и не запредельно сложно. Достаточно только задать себе вопрос: чем это будет интересно моим слушателям? Мне кажется, учитель должен задавать себе этот вопрос как можно чаще. Поэтому Николаю за провокацию спасибо, но!:) Очень надеюсь, что в изложении материала я ничего не напутала: было сложно разбираться во всем и сразу. Поэтому, вообще говоря, я предпочитаю, когда подобные посты пишут лица, задавшие вопрос. То есть вот так: спросил – сделай так, чтобы можно было радоваться новоприобретенному знанию, а не комплексовать по поводу незнания.